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标量，单独一个数：\( s \in \mathbb R \)
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向量，有序一列数：\( \vec x \in \mathbb R^n \)
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\( \vec x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ … \\ x_n \end{bmatrix} \)
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令集合 \(S={1,3,6}\) ，则 \(x_S\) 表示 \(x_1, x_3和x_6\)
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矩阵，二维数组：\( A \in \mathbb R^{m \times n} \)
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其内元素：\( A_{1,1}, A_{i,:}, A_{:,j} \)
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还有矩阵表达式：\( f(A)_{i,j} \)
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张量，超过二维的数组：\( A_{i,j,k} \)
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转置，矩阵以主对角线为轴的镜像：\( (A^T)_{i,j} = A_{j,i} \)
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向量转置：\( \vec x = \begin{bmatrix} x1, x2, x3 \end{bmatrix}^T \)
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标量转置：\( a = a^T \)
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基本运算
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\( C = A + B \) 即 \( C_{i,j} = A_{i,j} + B_{i,j} \)
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\( D = a \cdot B + c \) 即 \( D_{i,j} = a \cdot B_{i,j} + c \)
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\( C = A + \vec b \) 即 \( C_{i,j} = A_{i,j} + b_j \) ，称广播：隐式地复制向量至很多行
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矩阵乘法：\( C = AB \) , \( C_{i,j} = \sum_k A_{i,k}B_{k,j} \)
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元素对应乘积/Hadamard乘积：\( C = A \odot B \) , \( C_{i,j} = A_{i,j}B_{i,j} \)
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故向量有：\( x \cdot y = x^Ty \)
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矩阵乘法性质：
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\( A(B+C) = AB + AC \)
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\( A(BC) = (AB)C \)
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\( (AB)^T = B^TA^T \) , 从而可以推出：\( x^Ty = y^Tx \)
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线性方程组可如此表示：
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\( \begin{cases} A_{1,1}x_1 + A_{1,2}x_2 + … + A_{1,n}x_n = b_1 \\ A_{2,1}x_1 + A_{2,2}x_2 + … + A_{2,n}x_n = b_2 \\ … \\ A_{m,1}x_1 + A_{m,2}x_2 + … + A_{m,n}x_n = b_m \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A_{1,:}\vec x = b_1 \\ A_{2,:}\vec x = b_2 \\ … \\ A_{m,:}\vec x = b_m \end{cases} \Rightarrow A\vec x = \vec b \)
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\( I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
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性质：
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\( A \cdot I_n = A \)
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\( A^{-1}A = I_n \)
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可用于求解方程：
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\( A \vec x = \vec b \)
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\( \Rightarrow A^{-1}A\vec x = A^{-1}\vec b \)
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\( \Rightarrow I_n \vec x = A^{-1}\vec b \)
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\( \Rightarrow \vec x = A^{-1}\vec b \)
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